本文就从 2011 年第 1 期开始到 2013 年第 12 期止共 36 期的摇号数据做了分析。主要内容包括：
- 当前摇号机制的不公平
- 社会行为中的欠阻尼振动现象
- “孤独的编码”探奇
1. 背景：摇号的实现
每位申请人对应唯一一个申请编码，每月将所有满足要求的申请人编码从小到大依次排列，并用 1, 2, … 做为摇号基数编码。（注：简便起见，本文对于从 2014 年第 1 期开始的所谓加权概率摇号暂不考虑。）
摇号软件用 .NET 开发，按照 《GB/T 10111-2008 随机数的产生及其在产品质量抽样检验中的应用程序》（以下简称《GB/T 10111-2008》）里的简单随机抽样算法进行摇号，伪代码如下：
Random r := new Random(6 位伪随机数种子);
while 摇号未完成 do
begin
repeat
n = r.Next(有效编码总数) + 1;
until 摇号基数编码 n 没被摇中;
摇出 n;
end;
从“缓解拥堵”网上下载到的摇号程序无法将摇号结果导出。 交通委使用的必是另外一个可导出结果的版本， 至于它还有没有别的功能我们不得而知。作者用 Lazarus 重写了摇号程序以导出结果。
这里引出本文要讨论的第一个问题：小客车摇号需要采用的标准是否真正适用？先看《GB/T 10111-2008》 的适用范围：
- 本标准规定了随机数的产生及利用随机数进行随机抽样的方法。
- 本标准适用于分立个体类产品质量抽样检验的随机样本的抽取，也可用于调查抽样中随机样本的抽取。
- 本标准不适于于散料类产品质量抽样检验的样本抽取。
小客车摇号在于选出一部分人赋予权利，而产品质量抽样检验或者调查抽样是为了窥一斑而知全貌，这是两个完全不同的问题，《GB/T 10111-2008》并不适用。
2. 不等概率抽样
摇号池确定以后，摇号结果只依赖随机数种子。因此，一个编号被摇中的概率为：
\[P = \frac{能摇到该编号的随机数种子个数}{1000000}\]这里，假定一百万个随机数种子等概出现。
简单随机抽样是不等概率抽样，即各编码的中签概率不同。以 2013 年第 12 期为例，有效编码 1811403 个， 中签指标 18211 个。遍历一百万个随机数种子， 统计各编号的中签次数可知，最少的中签 9616 次，最多的 10712 次。如果中签概率相等，则每编号的中签次数应为 10053.533。 也即在该期摇号池确实后，有些人“天生”地比别人惨，中签概率比标称概率低（最惨的低 4.4%）； 有些人则“天生”地比别人幸运，最幸运的中签概率比标称概率高 6.5%。
自 2014 年开始的所谓加权概率摇号，$n$ 倍概率即将一个编码赋予 $n$ 个摇号基数编码。现有算法显然也无法保证得到 $n$ 倍概率的效果。 同样，一个家庭多人参加摇号，该家庭中签的概率也非简单的加倍关系。 鉴于一个家庭中多个申请人的编码在摇号池中的大小关系随机， 能保证简单的概率加倍关系的充要条件为：所有可能的摇号结果 ${N \choose M}$ 摇出概率相等。 这里摇号池中编码数为 $N$，指标数为 $M$，所有可能的摇号结果数即 $N$ 中选 $M$的组合数。${N \choose M}$ 是天文数字， 而在现在的摇号机制下，只有其中区区一百万种有摇出的可能。
“失之毫厘，谬以千里。” 公平者， 保障法律面前人人平等和机会均等，避免歧视对待。小客车摇号采用不等概抽样，不能保证申请人“机会均等”，显失公平。
3. 随机数种子的选取
摇号现场工作人员通过抓阄在现场随机找出 6 个人，通过按键的方法各选一位数。按键选数字的方法若不公正， 将直接颠覆简单随机抽样仅有的一点随机性。
看着现场工作人员一本正经地下令“开始摇号”、“刻盘”，稍稍一想，整个小客车摇号方案不过是个笑话罢了，认真不得。
4. 让数据讲话
自 2014 年 2 月 25 日起，摇号程序和摇号池编码文件已可下载，接下来本文试对数据做一点分析。
记第 $i$ 期摇号有效申请编码组成的集合为 $\Omega_i$，记第 $i$ 期中签编码组成的集合为 $\Omega_{i,win}$。
4.1 消失的编码
比较 $\Omega_i$ 与 $\Omega_{i+1}$，前者比后者多了一些元素：第 $i$ 期摇中的，以及其它“消失的编码”。我们将第 $i$ 期消失的编码记作 $\Omega_{gone,i+1}$，则有
\[\Omega_{gone,i+1}=\Omega_i - \Omega_{i+1} - \Omega_{win,i}\]$\Omega_{gone,i+1}$ 里的编码在第 $i$ 期并未中签，但也没参加下一次摇号。依理，这样编码应该不多，其实不然， 比如到 2012 年第 4 期时，有十八万余“老”编码没有参加此次摇号。主要原因是自 2012 年 1 月 1 日新的摇号细则将申请有效期改为三个月，申请人需要点击“确认延期”来延长有效期。
$\Omega_{gone,i+1}$ 在 $\Omega_i$ 中所占比重（元素数目之比）的曲线如下。
上图与欠阻尼振动曲线颇有几分相似。经过 11 个月，一众申请人方完成对新规定的消化吸收。这是一次很妙的社会行为实验。
4.2 真正消失的编码
$\Omega_{gone,i}$ 里的申请人在意识到忘记“确认延期”时，会尽快重新申请。把参加过后续摇号的编码从 $\Omega_{gone,i}$ 中删除，我们可以得到一个“真正”消失了的编码集合 $\Omega_{truly-gone,i}$：
\[\Omega_{truly-gone,i}=\{a | a \in \Omega_{gone,i} \land a \notin \Omega_{j = i + 1, \ldots}\}\]由于我们的数据只收集到 2013 年底，所以 2014 年后又参加摇号的编码没有从 $\Omega_{gone,i}$ 中删除，导致算出的 $\Omega_{truly-gone,i}$ 元素偏多，尤其是接近 2014 年时。
$\Omega_{truly-gone,i}$ 在 $\Omega_i$ 中所占比重的曲线图如下。如前所述，接近 2014 年时的几组 $\Omega_{truly-gone,i}$ 偏差较大，需略过不计。
“有效期新政”同样将上面的曲线分成迥然不同的两段，着重分析 2012 年第 4 期之前的一段：每期未中签的编码里平均大约有 2.4‰退出了后续的摇号。退出原因大致有二：
-
指标需求已满足，比如家里其他人中签，通过其它途径获得指标等
-
指标需求消失，比如购车计划搁置，行为艺术等
4.3 孤独的编码
$\Omega_{truly-gone,i}$ 还有一个子集，这个集合里的编码只参加了一次摇号，未中签，然后便永远离开了，“挥一挥衣袖，不带走一片云彩”，我们称之为孤独编码，所组成的集合记作 $\Omega_{lonly,i}$:
\[\Omega_{lonly,i + 1}=\{a | a \in \Omega_i \land a \notin \Omega_{win,i} \land \left( \forall_{j \neq i}{a \notin \Omega_j}\right)\}\]如下图所示，$\Omega_{lonly,i}$ 的元素个数基本恒定（初始两个月除外）。
每期摇号，平均有 195 人是初次参加，未中签，然后离开。有效申请数从 18 万增加到 180 万，“孤独编码”数却几乎恒定不变，令人费解。 考虑到每期指标数也基本不变，或许这两者之间存在某种联系？
假如以最大的恶意去推测：存在一定量的计划外指标可以绕过摇号直接发给某些人，比如摇号指标数的 10%，这并不会让普通大众和权力人士惊诧。不妨大胆猜想这些计划外指标就在 200 个上下，也即摇号指标数的 1% 左右：200 个申请人的编码被修改，通过审核，参加当期摇号，然后直接赋予中签状态。
上述“方法”不需要控制伪随机数种子，还有一种需要加以控制以使指定编码中签的“方法”。遍历所有伪随机数种子，通过插入假编码调整指定编码的序号，使其中签，找到需要假编码最少的种子。假定有 2000000 有效编码，指标数 20000，则能选中 200 个指定编码的选法与总选法之比非常小，直接与这样的选法相对应的随机数种子几乎不可能存在：
\[{2000000 - 200 \choose 20000 - 200} / {2000000 \choose 20000} \widetilde= 3.72\times10^{-401}\]考虑允许插入大约 200 个假编码的情况。考察 $\Omega_{lonly,i + 1}$ 与 $\Omega_{win,i}$ 中相邻编码的关系，可以发现：两个中签编码“夹着”的“孤独编码”绝大部分只有一个，另有极少数两个的情况。插入一两个假编码所能增加的选法仍与 $10^{-401}$ 想去甚远，所以可以排除通过遍历寻找伪随机数种子的可能。
假如以最大的善意去推测： $\Omega_{lonly,i + 1}$ 里这些第 $i$ 新进加入的申请人，在第 $i$ 期摇号时，亲朋中签，需求得以满足。
在进一步讨论之前，我们先看每期新增编码的数目。
4.4 新增编码
某编码在第 $i$ 期首次参加摇号，则称该编码是该期的新增编码，中途退出又再次参加的不在此列，即
\[\Omega_{new,i}=\Omega_i - \Omega_{i-1} - \ldots - \Omega_1, i > 1\]各期新增编码数如下所示。
| $ | \Omega_{lonly} | $ 在 $ | \Omega_{new} | $、指标数中所占的比例，分别为 2.5‰、1% 左右： |
回到上面的假设， $\Omega_{new, i}$ 里有一部分申请人一旦亲朋中签，需求得以满足，便会退出摇号，可谓“但求一号”。这一部分人里的一部分“梦想成真”，构成集合 $\Omega_{lonly, i + 1}$，剩余部分仍会参加后续摇号。 粗略地，如果增加中签指标，但求一号族也会按比例进入 $\Omega_{lonly, i + 1}$。以 2013 年第 10 期为例，中签概率为 1.1%，可估得但求一号族在 $\Omega_{new, i}$ 中所占的比例大约为：
\[\frac{2.5‰}{1.1\%}=22.3\%\]这就是说，新增申请人中大约每四五个就有一个属于但求一号的情况。我们可以进行一个社会小调查，若此命题成立，则善意猜测成立；若不然，则恶意猜测成立，
5. 慌言
最后需要说明，本文里些许含混不清的结果很可能是对数据的刻意解读而得，不过是些“慌言”罢了，当不得真。
以《数学悖论奇景》里的一个例子作结。 某药物进行双盲实验。有研究人员随机取实验组 300 人，痊愈 200 人，无副作用；对照组 281 人，痊愈 187 人。显然，使用该药物可提高痊愈比例。 另有一组研究人员随机取实验组 870 人，痊愈 600 人，无副作用；对照组 886 人，痊愈 611 人。 结论同样为使用该药物可提高痊愈比例。 你的结论是什么？